A este vídeo de youtube solo le falta una banda musical similar al Bolero de Ravel para que tengamos la sensación de que el fluido viscoso de color dorado está bailando al son de la música; me gusta que los autores hayan elegido una iluminación que logre un color tan dorado, pues yo recuerdo el color de este aceite de silicona como un amarillo mucho más pálido y menos sugerente. César (@EDocet) tuiteó este vídeo de youtube (enlace al vídeo original) como “#AA Fluido newtoniano y comportamiento no lineal en acción. ¡Matemáticos echad un ojo!” El enlace apuntaba a David Bradley, “Viscous fluid on a moving belt,” Sciencebase, Jan. 21, 2012, quien nos dice sin rubor que el líquido es sirope muy viscoso (“a stream of very viscous syrup”) y que es un ejemplo de un fluido no newtoniano (“a wonderfully visual example of a non-Newtonian fluid”). Como bien dice César, Bradley se equivoca, el fluido del vídeo es newtoniano (un aceite de silicona Dow Corning (R) 200). Al leer a Bradley tras ver el vídeo por primera vez me pregunté: ¿también se habrá equivocado César? Visité Twitter para corregirle, pero no, no se equivocaba, su tuit afirmaba con rotundidad que era un fluido newtoniano. ¡Bravo, César! Por ello decidí escribir una entrada sobre este vídeo y anuncié en Twitter que sería para el Carnaval de Matemáticas 2.X, cuyo anfitrión esta semana es el blog Resistencia Numantina del físico soriano Francisco J. Hernández (@fjhheras). He de confesar que nunca he estado en Soria, España, aunque quizás no importa, ya que él trabaja ahora en el grupo de neurobiología del Departamento de Zoología de la Universidad de Cambridge. Mi entrada no tendrá nada que ver con la biomatemática (también he hecho mis pinitos), ni con la neurociencia, la gran pasión de César, lo siento. Bueno, al grano.

El comportamiento del fluido newtoniano que se ve en el vídeo se puede entender como una transición entre dos situaciones extremas. Por un lado, cuando la cinta está parada, la silicona cae y se curva al contactar con la cinta, apareciendo una fuerza tangencial que hace rotar el chorro, que se pone a rotar formando una bobina de fluido de forma cilíndrica (como una cuerda que cae). Por otro lado, cuando la cinta tiene una velocidad alta, la silicona cae formando una catenaria y dejando una traza recta en la cinta transportadora. Conforme la velocidad de la cinta baja, se produce un cambio en el comportamiento del fluido (una bifurcación) que provoca que empiece a oscilar y formar los bucles que se observan en el vídeo. Al bajar más aún la velocidad estos bucles forman figuras con bucles más amplios hasta que, finalmente, cuando la cinta se para de forma definitiva se observa el bobinado del fluido. Permíteme una incursión algo más detallada en estos comportamientos.

Para entender un fenómeno físico conviene tener claro el dispositivo experimental utilizado, que se muestra en esta figura (extraída del reciente artículo de Robert L. Welch, Billy Szeto, Stephen W. Morris, “Frequency structure of the nonlinear instability of a dragged viscous thread,” Submitted to Physical Review E, 9 Jan. 2012, ArXiv, aunque el vídeo youtube es parte de un artículo anterior, también de Stephen W. Morris, Jonathan H. P. Dawes, Neil M. Ribe, John R. Lister, “The meandering instability of a viscous thread,” Physical Review E 77: 066218, 2008, ArXiv). Un chorro de aceite de silicona cae desde una altura variable sobre una cinta transportadora que se mueve a cierta velocidad ajustable. El chorro sale con un diámetro d = 8,00±0,02 mm y cae desde una altura H regulable entre 2,0 y 6,0 cm. La velocidad U de la cinta se controla mediante un motor de alta precisión, que permite bajar dicha velocidad desde 9 cm/s hasta cero. El aceite de silicona utilizado es un líquido newtoniano, su viscosidad es constante; te recuerdo que en los fluidos no newtonianos la viscosidad varía con la temperatura y no es constante. Por cierto, este aceite de silicona Dow Corning 200 es muy utilizado en este tipo de experimentos porque es muy estable ante variaciones pequeñas de la temperatura, es decir, su densidad y tensión superficial son prácticamente constantes en el rango de temperaturas considerado en el experimento (su densidad cambia menos del 0,08% por grado centígrado). La cámara de vídeo utilizada filma el reflejo de la cinta y el líquido en un espejo colocado a 45º de la dirección del movimiento de la cinta transportadora con objeto de poder reconstruir a partir de los fotogramas la posición (x, y) exacta del chorro líquido. Como indica la figura, el eje x mide los movimientos del fluido transversales a la cinta; el eje y es más curioso y mucho más difícil de reconstruir a partir de los fotogramas; el eje y mide lo que se adelanta o retrasa el punto de incidencia del chorro en la cinta (vuelve a ver el vídeo que abre esta entrada para comprobar que al principio este movimiento es muy ligero y que se vuelve mucho más importante cuando aparecen los primeros meandros, las oscilaciones del chorro en la cinta).

Cuando la cinta transportadora está en reposo (no se ve al final del vídeo), lo que se observaría en el vídeo es similar a un fenómeno muy familiar a todas las personas que han degustado miel. La miel también es un fluido viscoso newtoniano como el aceite de silicona (o como la leche condensada o la pintura de brocha gorda o muchos otros líquidos). Cuando un chorro de miel  cae se estrecha debido a la ley de la conservación de la masa (en física de fluidos se la llama ecuación de continuidad): el producto de la velocidad de una segmento del chorro por el área de su sección transversal se conserva (tiene un valor constante); por tanto, la aceleración de la gravedad estrecha el chorro al caer. Cuando la miel toma contacto con una tostada, o con la mesa, o la miel de su propio recipiente, se enrolla como si se tratara de una cuerda que se deja caer verticalmente al suelo, formando una especie de espiral cilíndrica. El siguiente vídeo de youtube lo ilustra muy bien; te recomiendo verlo (al menos el principio, pues de repite lo mismo en varias ocasiones).

La viscosidad del líquido hace que no se derrame (se extienda horizontalmente) al incidir sobre la superficie de la miel; también impide que se rompa en gotas. Por ello, el chorro de miel se enrolla como una cuerda formando bucles circulares (que en el vídeo, cuando alcanzan cierta altura, se desmoronan por su propio peso). Este fenómeno se llama “bobinado líquido,” aunque entre mis colegas es más conocido por su nombre en inglés efecto “rope-coiling.” ¿Qué tiene que ver este efecto con lo que observas en el primer vídeo de youtube? Los bucles y los “ochos” que forma el líquido en la cinta transportadora son debidos a este efecto, pero se alargan porque la cinta transportadora no está en reposo. Lo mismo ocurriría si sobre la cinta cayera una cuerda (elástica), como nos confirman Mehdi Habibi, Javad Najafi, Neil M. Ribe, “Pattern formation in a thread falling onto a moving belt: An “elastic sewing machine”,” Physical Review E 84: 016219, 2011, de donde extraigo las siguientes dos figuras.

La cuerda se desenrolla y cae sobre una cinta transportadora. Me gusta esta figura porque ilustra muy bien lo que es el movimiento en la coordenada y para el chorro del líquido viscoso. Cuando la cinta se mueve a alta velocidad, la cuerda forma una catenaria (a), pero conforme la velocidad se reduce se pone casi vertical con un codo circular (b) que se desplaza hacia atrás, como se ilustra en las figuras (c) y (d). En esta última configuración es en la que se observa que la cuerda (como el chorro líquido) realiza meandros y movimientos en forma de bucle.

Las configuraciones de la cuerda elástica que cae son más variadas (y complicadas) que las observadas en el chorro de líquido viscoso. El parámetro que controla el tipo de patrón observado es el cociente entre la velocidad lineal de desenrollado de la cuerda (V) y la velocidad de la cinta transportadora (U); en el chorro viscoso el primer parámetro (V) viene determinado por la altura desde la que cae el líquido (y la aceleración de la gravedad). En estas figuras V = 8 cm/s, excepto en (i) y (j) donde V = 30 cm/s. Para U>V, es decir, cuando la cinta es más rápida que la cuerda, se observa una catenaria estacionaria (en la figura (a) se muestra el caso límite U=V=8 cm/s). Para velocidades U más pequeños aparecen curvas biperiódicas, como en (e) y (f), patrones en forma de W, 8, &, y W8 en las figuras (g), (h), (i) y (j), resp., así como patrones de bobinado, en las figuras (k) a (n).

En el caso del fluido viscoso solo se observan algunos de los patrones observados en la cuerda elástica. Esta figura muestra el diagrama de estados en función de la velocidad de la cinta (U) y de la altura del chorro líquido (H), obtenido tras analizar miles de experimentos. Como ocurre en muchos sistemas no lineales, las transiciones entre los diferentes patrones conforme se baja la velocidad de la cinta se producen gracias a bifurcaciones (para un valor de H, los cambios de color en vertical). Un modelo matemático-físico de este sistema permite entender el origen de cada una de estas bifurcaciones (basta un análisis linealizado de las ecuaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes para este fluido), aunque para el análisis por separado de cada una de ellas es suficiente un modelo fenomenológico de Landau, mucho más sencillo, pero con parámetros libres que han de ser ajustados por medio de los experimentos. No entraré en detalles matemáticos, que si bien no son complicados, se pueden encontrar en los artículos citados más arriba (y en otros artículos más teóricos de los mismos autores).

Solo como ilustración de los resultados del análisis matemático, te muestro los resultados experimentales y la curva teórica predicha mediante un análisis lineal para la primera bifurcación que se observa en el vídeo que abre esta entrada. En concreto, para la transición entre el estado estacionario en el que el fluido forma una catenaria y la formación de meandros; se trata de una bifurcación de tipo Hopf (la aparición de un comportamiento oscilatorio a partir de un movimiento no oscilatorio). Para cada altura H fija (5,3 cm en la figura), hay una velocidad crítica para la cinta, Uc (igual a 4,01 cm/s para la figura), tal que con UUc el oscilatorio con una frecuencia ωc=2 Uc √µ (donde µ = 4,62 /cm² en la figura). La amplitud de las oscilaciones transversales dependen de la velocidad de la cinta y el modelo teórico predice que |A|=√((Uc-U)/(µ Uc)), que corresponde a la curva verde. El ajuste entre el resultado teórico y el experimento es muy bueno, aún así el modelo teórico predice un comportamiento de tipo histéresis que no se observa en los resultados experimentales (como se muestra en la figura de abajo).

Como es habitual en los sistemas dinámicos no lineales modelados por ecuaciones en derivadas parciales, se observa una sucesión de bifurcaciones que va dando lugar a la aparición de los diferentes patrones del fluido en la cinta (como la formación de figuras de tipo 8 y W). Todas estas bifurcaciones son consecuencia de la primera bifurcación de Hopf y conducen a una composición de movimientos oscilatorios en x e y cuyas frecuencias son múltiplos (armónicos) de la frecuencia de Hopf ωc. Supongo que conocerás las figuras de Lissajous, que se obtienen por la suma de dos movimientos oscilatorios. Los patrones que se observan tienen el mismo origen. Para analizar las frecuencias de estos movimientos oscilatorios se puede utilizar un análisis de Fourier, como muestra la siguiente figura.

En estas figuras se muestran cuatro patrones: meandros (a), figuras en W o bucles por un solo lado (b), figuras en 8 o bucles por los dos lados (c) y bobinados alargados (d). En azul tenéis el espectro de las oscilaciones en x y en verde discontinuo el de las de y. En un recuadro aparece el plano de fases para estos dos movimientos. Los meandros aparecen cuando la componente en x oscila a cierta frecuencia ω y la componente y casi no oscila a dicha frecuencia (aunque oscila un poco a la frecuencia doble, 2ω). Cuando se produce una bifurcación de Hopf, se excitan oscilaciones fuertes en la componente y con una frecuencia ω, que al estar acopladas con la componente x provocan la aparición de dos frecuencias ω y 2ω; este fenómeno es claramente no lineal (ya que en el caso lineal, figuras de Lissajous, no se excitaría ningún armónico). Conforme se reduce la velocidad de la cinta transportadora van apareciendo nuevas bifurcaciones en alguna de las dos componentes, pero no en la otra, lo que provoca un desfase entre ambas componentes. Finalmente, cuando la velocidad es muy lenta, ambas componentes se vuelven a poner en fase y domina la oscilación con frecuencia ω. No sé si me he explicado bien, pero las figuras son bastante claras.

Un análisis matemático riguroso de estas bifurcaciones requiere desarrollar un modelo matemático simplificado del chorro líquido; este modelo no lineal es difícil de estudiar, pero asumiendo que existen velocidades críticas en las que se producen cada una de las bifurcaciones se pueden linealizar dichas ecuaciones alrededor de estos puntos y obtener una buena estimación de sus parámetros. Resulta que se son bifurcaciones de Hopf y que el análisis lineal conduce un valor para la frecuencia de Hopf en muy buen acuerdo con los resultados experimentales. Por ello, este experimento es un arquetipo para estudiar cascadas de bifurcaciones en física de fluidos.

Para acabar, no quiero entrar en muchos detalles matemáticos, que nos llevarían demasiado lejos, me gustaría ilustrar una curiosa aplicación de estas bifurcaciones: el arte abstracto. Las inestabilidades de los chorros líquidos viscosos han sido utilizados por muchos pintores abstractos para obtener efectos muy curiosos en los trazos de pintura sobre el lienzo; destaca el pintor americano Jackson Pollock (abajo un ejemplo con un zoom); no entraré en más detalles, salvo recomendarte la consulta del artículo de Adrzej Herczynski et al., “Painting with drops, jets, and sheets,” Physics Today, June 2011, pp. 31-36 (copia gratis en pdf).